【添翼思维】算术图的故事

算术图（Arithmetic graph）是一类顶点赋值图(Vertex-weighted graph)，是作者疫情期间在旧金山湾区周边山上hiking时灵感所至进而深入研究的成果。

疫情期间几乎与世隔绝，唯一的娱乐便是周末到湾区周边的山上hike一次。那是一个极其平常的的南湾早上，阳光明媚,我驱车前往位于35号公路边上的Skyline Ridge Open Space。此公园有一处高山小湖，名曰马蹄湖。湖畔有密林，林中鸟声啾啾，湖水清澈，有一群野鸭戏水。。坐在湖边小道的木椅上，俨然置身于世外桃园，看着湖中悠然自得的野鸭，感觉鸭子们排成一等差数列。。等差数列是一列数，其任意相邻的两数之差都相等 （这是等差数列的定义）。譬如，3，7，11，15，19，23，27就是一等差数列，其邻数之差为4； 而5，7，9，11，13，15，17，19，21，23是另一个等差数列。。当时，我突然意识到等差数列的一个简单事实：任何一个中间的数都是其相邻两数之平均值，譬如，在第一个数列里，7是3和11的均值，19是15和23的均值。我知道刚刚我有了个简单的发现，我们可以用这个均值性质重新定义等差数列，而这是一个等价的定义！

我的博士论文《Phase-Locking in Chains and Arrays of Coupled Oscillators》是建立在图论（Graph theory）两种图链和阵列的基础之上的，尔后便对链和阵列产生了特殊的敏感，如下两图所示。

图1: 一条链

图2: 一个阵列

把数列之每个数置于一条链的顶点（vertex）之中，我意识到，若链上任意一个顶点的值是其相邻两顶点值之均值，那么这个数列就是一个等差数列。由于等差数列的英文名叫Arithmetic sequence,我们亦可称其为算术数列，相应便有一条算术链。

图3: 一条算术链

“链上任意一个顶点的值是其相邻两顶点值之均值”让我想到“阵列上任意一个顶点值是其相邻所有顶点值之均值”。我由此产生了算术列阵的概念：给定一个列阵，除了最西北和最东南两顶点之外，若每一个顶点的值都是其相邻顶点的均值，那么我们称此列阵为算术阵列。

图4: 一个算术阵列

有了算术链和算术阵列之后，我们很自然地将概念扩展到图，从而定义了算术图：给定一个连通图如下所示，选定两个顶点（如图中绿黄两顶点），给每个顶点赋值，如果除了那两个顶点，其它顶点的值都是其相邻顶点的均值，那么这个顶点赋值图就被称为算术图。

图4: 一个还没赋值的图

在算术链，算术阵列和算术图的概念之上，我建立了一个算术图理论。 这个理论很有意思，有小部分结果可用于我博士论文的课题，大部分内容没有实际用处，但这不重要。数学除了是庸俗的实践工具之外，更是优雅的艺术创作。

由于创立过一系列以数学算法为核心技术的科技企业（Provilla、A4 Data、SecureCircle等），在硅谷，作者这些年一直被投资人、创业者、工程师和研究人员们定位为工业数学家（Industrial Mathematician）或数学企业家（MathematicalEntrepreneur）， 算术图理论这项工作让我回到了纯数学领域。