添翼思维 | 工业软件和数学

    【添翼思维】栏目以前的文章《工业软件简介》宣称工业软件是工业技术和知识的软件化产物， 并重点介绍了工业软件中被称为“理科类”的研发设计类软件：CAD、CAE、CAPP、APS、CAM、EDA等。这类工业软件之所以被称为“理科类”，除了其高技术门坎之外，最核心的原因是它们将工业知识数学化，也就是基于软件提供的基础或行业数学模型，再通过数学算法实现自动化决策和优化。数学是这些“理科类”工业软件的底层语言，不同的软件依赖不同的数学分支。我们在此简单介绍一下。

    CAE作为数学含量最高的软件，它与数学的一个分支计算数学息息相关。计算数学，有时也称科学计算，为CAE软件之核心。CAE通过数值方法模拟物理现象（如结构力学、流体动力学），本质是用数值方法求解偏微分方程、常微分方程组、非线性方程组、线性方程组、矩阵特征值等数学问题。关键数值计算工具包括有限元法（FEM）和有限体积法（FVM），也就是将偏微分方程的边值问题或初值问题离散为线性方程组或非线性方程组，依赖线性方程组迭代算法或者非线性方程组的牛顿类迭代算法求解。这些迭代算法能够求解大规模稀疏矩阵，而且需要数学理论来保证仿真结果的收敛性和稳定性。CAE软件的王者是ANSYS， 一家总部在美国匹兹堡的工业软件公司， 创始人是毕业于匹兹堡大学力学系的John   Swanson博士，是笔者最为敬仰的匹大学长。

    这类软件里名声最大的当属CAD软件了，它主要跟计算几何紧密相联。CAD在工业产品设计中需要描述几何形状，计算几何为此提供了曲线/曲面的表示方法与操作算法。关键的数学工具包括：基于控制点和基函数表达的参数化曲线和曲面；几何相交算法（求交、裁剪等操作依赖代数几何和拓扑学）；网格生成与优化（如CAD到CAE的网格转换）需要离散微分几何作为基础。

作为计算机辅助工艺规划的CAPP软件将加工工艺转化为可量化的决策问题，涉及逻辑建模与优化。它严重依赖数学来提高工艺设计的效率，其仿真功能则必须有数学算法才能实现。关键数学工具包括：

· 图论， 譬如工艺路线规划可抽象为有向图的最短路径问题， 也常常需要有向图的拓扑排序算法；

· 规则推理：基于布尔代数或模糊逻辑处理工艺约束；

· 统计学习：利用历史数据预测加工参数（如切削力模型）；

· GCNN（Graph Convolutional Neural Networks）人工智能模型：用于工艺自动生成。

·添翼工艺指纹算法：基于工艺图和工艺规则的指纹抽取算法，是添翼工艺成组技术的核心。

    高级计划排程软件（APS），顾名思义，肯定跟算法脱不了干系。APS的核心是解决生产调度中的多约束组合优化问题，属于NP难问题。关键数学工具包括：

·整数规划和混合整数规划：处理离散决策（如订单分配）。

·启发式算法：譬如遗传算法、模拟退火等可以近似地获得大规模问题的最优解。

·约束满足问题（Constraint satisfaction problem）：处理资源冲突和优先级规则。

    数学是“理科类”工业软件的隐形引擎，其竞争力往往体现在数学模型的创新（如更快的求解器、更精确的几何描述等）。总结如下：

·CAE：计算数学是仿真的基石，误差控制决定可信度；

·CAD：计算几何将设计意图转化为数学参数，驱动建模内核；

·CAPP：数学建模将经验规则转化为可自动化逻辑；

·APS：算法性能直接决定排程的经济性（如降低库存成本）。