添翼思维 | 一位工业数学家的黄金十年

   1.前言

今天想用公司的公众号介绍一下自己的数学研究。

我一生的数学工作分为三个阶段：

· 清华时期 （1985-1991）：大学四年级开始跟随计算数学家李庆扬教授做研究，涉猎过计算数学的众多领域：线性方程组数值解、非线性方程组数值解、常微分方程组数值解以及矩阵特征值问题数值解等。 发表过一些文章， 还获两次学术奖。硕士毕业留校任教期间，对非齐次特征值问题也有理论研究， 发表两篇论文于顶刊《科学通报》。这段时期的特点是杂而不精，研究虽广，但深度不够，单点突破多而缺乏系统性的研究。毕竟只有硕士学历，可以原谅。

· 匹兹堡大学攻博期间（1991-1996）：在Bard Ermentrout教授指导下做博士论文，主攻耦合振荡器的相位锁定问题，研究了5种离散结构和3种连续拓扑结构，建立了耦合振荡器相位锁定的基本理论框架将8种结构统一起来。

· 数学研究冬眠期（1996 - 2013）。

· 黄金十年（2013-2023）:   2013年回匹兹堡拜访Ermentrout教授，导师对自己工作之热爱深深感染了我，我内心对真理之爱被唤醒，数学之火焰重新点燃。。。我重启耦合振荡器相位锁定理论的研究，取得突破性进展； 原创性地创建了算术图理论；在计算机科学领域里，建立了高等差分压缩理论和字符串近似匹配理论。

2.图拓扑结构耦合振荡器的相位锁定理论

在匹兹堡大学通过博士资格考试之后，Bard Ermentrout做了我的博士论文导师。 虽然现在是生物数学尤其是神经动力系统领域的大师，但他那个时候名气并不大。他建议我先在他跟Nancy Kopell在耦合振荡器链上的几项开创性工作的基础上做些数学理论工作。他们本质上是科学家，没有兴趣为其科学研究做深入的数学扩展。若以我现在的学术品味视之，那几项工作可以形容为“科学上极具开创性，数学上略显粗糙”。我用Brouwer不动点定理、同伦延拓法、离散打靶法等数学工具完成了这些耦合振荡器链上的相位锁定解之存在和唯一性证明。我不仅完成了任务，而且还建立了耦合振荡器相位锁定理论的基础框架，从而完成了博士论文。

博士论文分为两大部分：离散结构耦合振荡器相位锁定理论和连续域耦合振荡器相位锁定理论，两部分其实自成体系。但在将离散动力系统的Ermentrout稳定性定理扩展到连续动力系统，并将相位锁定解的稳定性和局部唯一性统一起来之后，这两个理论就成为统一的耦合振荡器相位锁定理论：

1） 离散结构耦合振荡器相位锁定理论：

   o   离散结构相位锁定解的稳定性和局部唯一性。

   o   离散结构近邻耦合振荡器相位锁定：

§ 均质链近邻耦合振荡器的相位锁定：用Brouwer不动点定理修补Ermentrout-Kopell理论以提高普适性；

§   非均质链近邻耦合振荡器的相位锁定：用离散打靶法完善Ermentrout-Kopell理论；

§   二维阵列邻耦合振荡器相位锁定：降维分解法。

   o   链多耦合振荡器相位锁定：用同伦延拓法改进Ermentrout-Kopell的理论工作，并通过数值实验发现新现象。

2） 连续域耦合振荡器相位锁定理论：

   o   连续域相位锁定解的稳定性和局部唯一性；

   o   基于论文的统一框架，将Schauder不动点定理应用于连续链、矩形域及圆盘等连续拓扑结构，建立相位锁定解的存在性证明。

2013年8月，我在拜访了多年未见的导师Ermentrout博士之后，重燃数学之火。受其正在关注的正则图结构耦合振荡器锁相问题之启发，开始以图拓扑结构的观点来重新审视博士论文的一部分：离散结构近邻耦合振荡器相位锁定问题。目标是建立一个理论，将之前研究的环、链和二维阵列用图统一起来， 并进一步研究各种各样的图拓扑结构。 2023年中，基本上完成了图拓扑结构耦合振荡器的相位锁定理论之构建。

以下是这个理论的简介：

• 前言：以图论的观点重新描述离散结构近邻耦合振荡器的相位锁定问题和离散动力系统的Ermentrout稳定性定理；

• 以图论的观点回顾环、链、二维阵列三种结构及解存在性证明；

• 完美二叉树： 利用对称性完成解的存在性证明；

• 星形树是一个非常有趣的例子。我们研究其中三类星形树。用Brouwer不动点定理证明第一类星形树解的存在性；为第二类星形树建立解的存在性递推式证明法；从第一和第二类星形树推导出第三类星形树解的存在性。

• 笛卡尔积图：用降维分解证明解的存在性；

• 结语：基于耦合振荡器问题的图论表达和Ermentrout稳定性定理，我们证明了环、链、二维阵列、完美二叉树、星形树、笛卡尔积图诸图稳定性解的存在性，以此建立了统一的理论框架，为一般连通图的研究奠定了理论和方法论的基础。

3.算术图理论

疫情期间，生活在硅谷的我很少跟人来往，几乎与世隔绝，最大的娱乐就是徒步爬山。我有个习惯，喜欢将通往某山顶的所有路径都走上一遍， 类似于大学时喜欢将某道数学题的所有证明都找出来。在征服了南湾的很多山顶之后， 我盯上了黑山峰（Black Mountain Summit）。在走完四条通往山顶的路径之后，其在地图上发现了第五条路。但是，它的trail head很远，在35号公路边上的Skyline Ridge Open Space。于是驱车前往， 却发现此公园有一处高山小湖，名曰马蹄湖。湖畔有密林，林中鸟声啾啾，湖水清澈，有一群野鸭戏水。。坐在湖边小道的木椅上，俨然置身于世外桃园，看着湖中悠然自得的野鸭，感觉鸭子们排成一等差数列。。。受此美景启发，我发现了等差数列的一个等价定义，并因其英文名Arithmetic Sequence(算术数列)的启发，而将算术数列的概念扩展至算术阵列，然后再扩展至算术图（Arithmetic graph）。在发现并证明了许多有趣的结果之后，最大的收获是发现并证明了算术图基本定理。就这样，我原创性地建立了算术图理论。

以下是这个理论的简介：

• 前言：利用等差数列（也称算术数列）的均值性质定义了算术链。均值性质如是： 中间点的值为前后两值的平均。

• 将算术链的概念扩展到算术阵列，又进一步扩展到算术图 ，并给出算术图的存在和唯一性证明。建立了算术图基本定理并给出线性代数的证明。

• 将算术均值的概念用一个严格单调增加函数扩展到准算术均值，并以此定义了   准算术链、准算术阵列和准算术图。建立了准算术图基本定理并用算术图基本定理和函数单调性给出证明。

• 将均值范围从邻居扩展到r-球 ，并进一步扩展至社区。

• 揭示离散Dirichlet问题是算术图理论的特殊情形，将经典问题纳入更广泛的泛离散Dirichlet问题框架，显著拓展了理论疆界。

• 数值计算：应用Jacobi迭代或高斯-赛德尔迭代于算术图， 证明了Jacobi迭代和高斯-赛德尔迭代的收敛性；应用Jacobi迭代或高斯-赛德尔迭代配合二分法或牛顿迭代于准算术图， 证明了数值方法整体的收敛性。

• 结语： 我们从简单的等差数列出发，从三个维度进行了理论扩展：算术链—》算术阵列 —》算术图；算术均值—》准算术均值；邻居 —》r-球 —》社区。这三维拓展构建了较为完整的算术图理论。

4.结语

回顾我的数学旅程，从早期的广泛涉猎，到博士阶段在耦合振荡器领域的深耕，再到因生活际遇而暂停研究，最终在“黄金十年”重燃热情并取得突破，这条路虽非坦途，却步步坚实，留下了独特的印记。

这十年间，我主要完成了两项系统性工作。这两项工作殊途同归：前者将既往分散的研究系统化、普遍化，以图论为纽带统一了网络耦合振荡器的分析；后者则从一个简洁的算术原理出发，原创性地构建了一套新颖的图论体系。它们共同体现了从具体现象或问题出发，追求数学严谨性与普适性的不懈努力。我由衷希望这些理论能为相关领域的研究者提供有价值的工具与新的视角。

数学探索永无止境。能在中断多年后重返研究，并最终完成这些工作呈现于世，我深感欣慰。这不仅是对学术生涯的一次重要补益，也让我不禁想起数学前辈周炜良博士的经历——因故中断研究，后经陈省身先生力劝而重返并再创高峰。这十年，是我作为数学探索者迟来却珍贵的“黄金十年”。